Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: T = 2(sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC.
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: T = 2(sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx, ∀x∈(0;
) (C ) f’(x) = 2cosx + cos-2x =>f”(x) = -2sinx + 2cos-3xsinx = 2sinx(
- 1) > 0 ∀x∈(0; 
)
Nên đường cong (C) lõm trên (0; 
). Xem T(
; 2√3) ∈(C ) trên ( 0; 
)
Tiếp tuyến của (C) tại T có p/t Y = f’ (
)(x - 
) + f( 
) = 5(x -
) + 2√3.
Vì f(x) lõm trên (0; 
) và y = 5(x - 
) + 2√3 là một tiếp tuyến của (C ) trên (0; 
) . Nên với ∀x∈(0;
)
Thì f(x) ≥5(x - 
) + 2√3.
Thay x = {A; B; C} của tam giác nhọn ABC ta có (sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC ≥5(A + B + C – π) + 6√3 = 6√3.
Do đó: T ≥6√3. Dấu đẳng thức xảy ra A = B = C = 
Vậy TMN = 6√3 khi tam giác ABC đều.
Xét hàm số f(x) = 2sinx + tanx, ∀x∈(0;) (C ) f’(x) = 2cosx + cos-2x =>f”(x) = -2sinx + 2cos-3xsinx = 2sinx( - 1) > 0 ∀x∈(0; )
Nên đường cong (C) lõm trên (0; ). Xem T(; 2√3) ∈(C ) trên ( 0; )
Tiếp tuyến của (C) tại T có p/t Y = f’ ( )(x - ) + f( ) = 5(x -) + 2√3.
Vì f(x) lõm trên (0; ) và y = 5(x - ) + 2√3 là một tiếp tuyến của (C ) trên (0; ) . Nên với ∀x∈(0;)
Thì f(x) ≥5(x - ) + 2√3.
Thay x = {A; B; C} của tam giác nhọn ABC ta có (sinA + sinB + sinC) + tanA + tanB + tanC ≥5(A + B + C – π) + 6√3 = 6√3.
Do đó: T ≥6√3. Dấu đẳng thức xảy ra A = B = C =
Vậy TMN = 6√3 khi tam giác ABC đều.
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Giải phương trình (1-
).![\sqrt[3]{2-x}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1031/75_220_2.gif)
= x. -
Giải phương trình
=
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Tính tích phân I=
-
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.