Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 57745

Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức  (\frac{C_{n}^{0}}{1})^{2}+(\frac{C_{n}^{1}}{2})^{2}+...+(\frac{C^{n}_{n}}{n+1})^{2}=\frac{C_{2n+2}^{n+1}-1}{(n+1)^{2}}

Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số tự nhiên n ≥ 2, chứng minh đẳng thức 

(\frac{C_{n}^{0}}{1})^{2}+(\frac{C_{n}^{1}}{2})^{2}+...+(\frac{C^{n}_{n}}{n+1})^{2}=\frac{C_{2n+2}^{n+1}-1}{(n+1)^{2}}


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Biến đổi \frac{C_{n}^{k}}{k+1}=\frac{1}{k+1}.\frac{n!}{k!(n-k)!}=...=\frac{1}{n+1}C^{k+1}_{2n+2}

(C0n+1)2 + (C1n+1)2 +... +(Cn+1n+1)2 = Cn+12n+2

Xét khai triển P(x) = (1+x)2n+2 có hệ số xn+1 là Cn+12n+1

Mà P(x) = (1+x)n+1(x+1)n+1

Chỉ ra hệ số của xn+1 theo cách khai triển thứ 2 là (C0n+1)2 + (C1n+1)2 + ...+(Cn+1n+1)2 từ đó suy ra đpcm

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết