Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 1976

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}


A.
5+\frac{\sqrt{5}}{3}i
B.
-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
C.
2-3i
D.
-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x+yi (x,y∈R)

Khi đó

 2|z|+√3iz=4-z <=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} + (1+\sqrt{3}i)(x+yi)=4

<=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} +(x-√3y)+(√3x+y)i=4

<=> \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0\\2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x-\sqrt{3}y)=4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\2\sqrt{4x^{2}}+4x=4 \end{matrix}\right.

<=>\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\\sqrt{x^{2}}+x=1 \end{matrix}\right.

Ta có \sqrt{x^{2}}+x=1 <=> \sqrt{x^{2}}=1-x <=> \left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\x^{2}=(1-x)^{2} \end{matrix}\right. <=> x=\frac{1}{2}

Suy ra y=-\frac{\sqrt{3}}{2} hay z=\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i= cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3}. Do đó ta có

z2012+\frac{1}{z^{2013}}= cos(-\frac{2012\pi }{3})+isin(-\frac{2012\pi }{3})+cos\frac{2013\pi }{3}+ isin\frac{2013\pi }{3}

=cos(-\frac{2\pi }{3})+ isin(-\frac{2\pi }{3}) -1 =-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết