Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 1439

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,\widehat{BAC} = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C,\widehat{BAC} = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)


A.
VMC’ABC = -\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{3}}{3}
B.
VMC’ABC = -\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = a^{3}\sqrt{4} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}
C.
VMC’ABC = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng   cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}
D.
VMC’ABC = \frac{a^{3}}{8}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt),góc giữa 2 mặt phẳng cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{30}}{10}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

                           

Đặt CA = CB = x. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA

⇔ x2 = 3a2 + x2 – 2.a √3.x.\frac{\sqrt{3}}{2}  => x = a

Ta chia khối đa diện MC' ABC thành hai khối chóp M.ACC' và M.ABC.

Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Khi đó BH ⊥  (ACC'). Suy ra

d(M,(ACC') = d(B,ACC') = BH = asin60° = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Do đó  VM.ABC = \frac{1}{3} .d(M,(ACC')).SACC’ = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\left ( \frac{1}{2}.a.a \right ) = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}

Ta có VM.ABC  = \frac{1}{3} .MB. SABC = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.(\frac{1}{2} .a.a √3.sin30°) =  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}

Từ đó suy ra  VMC’ABC = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}+  \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}  = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{8} (đvtt)

(Lưu ý rằng chúng ta cũng có thể chứng minh được VMC’ABC = \frac{1}{2}.VABC.A’B’C’

Từ đó ta sẽ tính được thể tích khối đa diện MC' ABC)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác ACC', ABM, MB'C' ta tính được:

AC' = a√2 ,AM = \frac{a\sqrt{13}}{2}, MC' = \frac{a\sqrt{5}}{2}.

Từ đó suy ra tam giác AMC' vuông tại C.Khi đó ta có:

cos \left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}} =  \frac{\sqrt{30}}{10}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết