Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41676

Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \frac{a}{2}, cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và AC theo a.

Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy

Câu hỏi

Nhận biết

Cho khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = \frac{a}{2}, cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SD và AC theo a.


A.
d(SD; AC) = 2a; VS.HCD =  \frac{4a^{3}}{15}
B.
d(SD; AC) = \frac{2a}{3}; VS.HCD =  4a3
C.
d(SD; AC) = \frac{2a}{3}; VS.HCD = \frac{4a^{3}}{9}.
D.
d(SD; AC) = \frac{2a}{3}; VS.HCD =  \frac{4a^{3}}{15}.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

2 tam giác vuông AMD và DAC có \frac{AM}{AD} = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{2}  nên đồng dạng

=> \widehat{ADH} = \widehat{DCH}

mà \widehat{ADH} = \widehat{HDC} =  900. => \widehat{DHC} = 900.

∆ACD vuông tại D nên AC2 = AD2 + DC2 => AC = a√5.

Hệ thức lượng ∆ACD ta có DH.AC = DA.DC

=> DH = \frac{2a}{\sqrt{5}}

Tam giác DHC vuông tại H => HC = \sqrt{DC^{2}-DH^{2}} = \frac{4a}{\sqrt{5}}

. SHCD = \frac{1}{2}DH.HC = \frac{4a^{2}}{5}

VS.HCD = \frac{1}{3}SH. SHCD = \frac{4a^{3}}{15}.

Dựng HE ⊥ SD. Ta có SH ⊥ (ABCD) => SH ⊥ AC, DH ⊥ AC => AC ⊥ (SHD).

Mà HE  ⊂ (SHD) nên HE ⊥ AC => HE là đoạn vuông góc chung của SD và AC.

Nên HE = d(SD; AC)

Tam giác SHD vuông tại H nên \frac{1}{HE^2} = \frac{1}{SH^2} + \frac{1}{HD^2} => HE = \frac{2a}{3}.

Vậy d(SD; AC) = \frac{2a}{3}

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết