Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥ BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥ BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'
a 
a 
a 
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có 
= (
+ 
) (
+ 
+ 
)
= . + . = a.x - x.a = 0
(Lưu ý rằng các véctơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0)
Từ đó suy ra CM ⊥ BN
Ta có các đường thẳng AP,D'M,A'B' đồng quy tại S (hình vẽ)
Ta có : VS.AA’D’ = 
.SA'.VAA’D’ = .
.
.a2 = 
Ta có : 
= 
= (
)3 = (
)3
Suy ra: VMPB’.D’AA’ = 
(1 - (1 - 
)3 ) = 
(1 + (1 - ) + (1 + )2 )
Theo giả thiết VMPB’.D’AA’ = .VABCD.A’B’C’D’ = a3. Suy ra
(1 + )2 + (1 - ) - 1 = 0 ⇒ 1 - 
= 
> 0 ⇒ x = 
a
Ta có = ( + ) ( + + )
= . + . = a.x - x.a = 0
(Lưu ý rằng các véctơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0)
Từ đó suy ra CM ⊥ BN
Ta có các đường thẳng AP,D'M,A'B' đồng quy tại S (hình vẽ)
Ta có : VS.AA’D’ = .SA'.VAA’D’ = ...a2 =
Ta có : = = ( )3 = ( )3
Suy ra: VMPB’.D’AA’ = (1 - (1 - )3 ) = (1 + (1 - ) + (1 + )2 )
Theo giả thiết VMPB’.D’AA’ = .VABCD.A’B’C’D’ = a3. Suy ra
(1 + )2 + (1 - ) - 1 = 0 ⇒ 1 - = > 0 ⇒ x = a
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải phương trình
=
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R)