Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39834

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’. 1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK. 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ = 2a√5 và góc BAC = 1200. Gọi K là trung điểm của cạnh CC’.

1. Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK. Gọi I là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách từ điểm I đến (A’BK).


A.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{12}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
B.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R =  \frac{a\sqrt{21}}{3},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
C.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) =  \frac{a\sqrt{5}}{5}
D.
VA.A’BK = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}, R = \frac{a\sqrt{21}}{2},  d(I,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{6}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

1.  Tính thể tích khối chóp A.A’BK.

Do CK // (AA'B) nên ta có 

VA.A’BK = VK.AA’B = VC.AA’B = VA’.ABC = \frac{1}{3}. SABC. AA’. 

SABC = \frac{1}{2} AB.AC. sin1200 =  \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

Vậy VA.A’BK = \frac{1}{3} . \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}. 2a√5 = \frac{a^3\sqrt{15}}{3}

2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK.

Tam giác ABC có 

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC. cos1200 = 7a2 

BK2 = BC2 + CK2 = 7a2 + (a√5)2 = 12a2

A’K2 = A’C’2 + C’K2 = 4a2 + 5a2 = 9a2

A’B2 = AA’2 + AB2 = 21 a2  => A’B2 = A’K2 + BK2 => tam giác A’BK vuông tại K.

Ta có \widehat{A'KB}  = \widehat{A'B'B} = 900

=>  4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính

R = \frac{1}{2} A’B = \frac{a\sqrt{21}}{2}.

*Tính khoảng cách từ I đến (A'BK)

Gọi F là trung điểm của A'B' => IF // (A'BK) => d(I, (A'BK)) = d(F, (A'BK))

Do E là trung điểm của AB' => d(F, (A'BK)) = \frac{1}{2} d(B',(A'BK)) = \frac{1}{2} d(A,(A'BK))

Tam giác A'BK có BK ⊥ A'K => SA’BK = \frac{1}{2}A’K. BK = \frac{1}{2}. 3a. 2a√3 = 3a2√3

VA.A’BK = \frac{1}{3}. SA’BK. d(A,(A'BK)) => d(A,(A'BK)) = \frac{a\sqrt{5}}{3}.

Vậy d(I,(A'BK)) = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{3} =  \frac{a\sqrt{5}}{6}.

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết