Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 690

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 300 .Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 300 .Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.


A.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{2},     R=\frac{5a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}
B.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2},    R=\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}
C.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{2},     R=\frac{2a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}
D.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{2},    R=\frac{a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì AA'⊥(ABCD) nên \widehat{(CA',(ABCD))} = \widehat{A'CA} = 300

Vì AA'⊥(ABCD) và AB⊥BC nên \widehat{((A'BC),(ABCD))}=\widehat{A'BA}=450

Ta có d(C',(A'CD))=d(D',(A'CD))=d(A,(A'CD))=d(A,(A'CD))=AH,

Trong đó H là hình chiếu của A lên A'D.

Đặt AA'=x. Trong đó tam giác A'AB vuông tại A, có \widehat{A'BA}=450 suy ra AB=x

Trong tam giác A'CA vuông tại A, có \widehat{A'CA}=300 suy ra AC = x√3.

Khi đó AD=BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{3x^{2}-x^{2}} = x√2.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác A'AD vuông tại A, có đường cao AH ta được 

\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AA'^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}⇔ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{2}} => x=\frac{a\sqrt{6}}{2}

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{12}}{2} = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2}(đvtt).

Ta thấy \widehat{A'DE} = \widehat{A'AE} = 900 nên tứ diện AA'DE nôị tiếp mặt cầu đường kính A'E.

Khi đó mặt cầu này có bán kính là R = \frac{1}{2}A'E = \frac{1}{2}\sqrt{A'D^{2}+DE^{2}}

=\frac{1}{2}\sqrt{A'A^{2}+AD^{2}+DE^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3a^{2}}{2}+3a^{2}+\frac{3a^{2}}{8}}=\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết