Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10735

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P  lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα =\frac{\sqrt{21}}{7} , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N , P  lần lượt là trung điểm của SB, BC, AD. Biết mặt phẳng (MNP) tạo với mặt phẳng (SAB) một góc α với cosα =\frac{\sqrt{21}}{7} , tìm thể tích khối chóp S.MNP và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.


A.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
B.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{7}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
C.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{5}{3}πa2.
D.
VS.MNP =\frac{a^{3}\sqrt{5}}{48}; Diện tích mặt cầu S =  \frac{7}{3}πa2.
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

 

VS.MNP = VP.SMN = \frac{1}{4}VP.SBC = \frac{1}{4}VA.SBC = \frac{1}{4}VS.ABC= \frac{1}{8}VS.ABCD

Gọi H là trung điểm AB suy ra SH ⊥AB

Do (SAB) ⊥(ABCD) suy ra SH ⊥(ABCD)

VSABCD = \frac{1}{3}SH.dtABCD = \frac{1}{3}SH.a2

Gọi E là trung điểm CD , do (MNP)//(SCD) suy ra :

 \widehat{((MNP),(SAB))}=\widehat{((SCD),(SAB))} =\widehat{ESH} = α

SH =\frac{HE}{tan\alpha } = \frac{a}{tan\alpha } với tan2α  = \frac{1}{cos^{2}\alpha } -  1 = \frac{4}{3} nên SH = \frac{\sqrt{3}}{2}a

VS.MNP = \frac{1}{8}VS.ABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}

Gọi O là giao điểm của AC, BD , dựng đường thẳng a qua O và vuông góc (ABCD)

Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , dựng đường thẳng b qua G và vuông góc (SAB)

Chứng minh được a, b đồng phẳng và cắt nhau tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Bán kính mặt cầu  R = SI = \sqrt{SG^{2}+GI^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3}+\frac{a^{2}}{4}} = a\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}

Diện tích mặt cầu S = 4π(a\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} )2 = \frac{7}{3}πa2

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết