Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3562

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα  = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a√3, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc α thỏa mãn cosα  = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C. AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD


A.
VC.AMN = a3. d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{6}}{2}
B.
VC.AMN = \frac{a^{3}}{4} d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{6}}{2}
C.
VC.AMN = \frac{a^{3}}{4} d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{15}}{5}
D.
VC.AMN = a3. d(AM , BD) = \frac{a\sqrt{15}}{5}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD).

Từ đó suy ra (\widehat{SC,(ABCD)}) = \widehat{SCA} = α.

Ta có AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = \sqrt{3a^{2}+a^{2}} = 2a.

Trong tam giác vuông SAC có SC = \dpi{100} \small \frac{AC}{cos\alpha } = \dpi{100} \small \frac{2a}{2} = a√7

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = \sqrt{SC^{2}-AC^{2}} = \sqrt{7a^{2}-4a^{2}}

= a√3.

Từ đó suy ra

VS.ABCD = \frac{1}{3}.a√3.a√3.a = a3.

Ta có VC.AMN = VS.ABCD – VS.CMN – VN.ABC – VM.ACD – VS.AMN

= VS.ABCD (1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8})

= \frac{1}{4} VS.ABCD = \frac{a^{3}}{4} (đvtt)

Tam giác AMN có AN = MN = a, AN = \frac{a\sqrt{6}}{2}

Nên có diện tích bằng \frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}.

Suy ra d(C , (AMN)) = \frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}} = \frac{\frac{3a^{3}}{4}}{\frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}} = \frac{2a\sqrt{15}}{5}

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:

d(AM , BD) = d(BD , (AMN)) = d(O , (AMN)) = \frac{1}{2}d(C , (AMN)) = \frac{a\sqrt{15}}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết