Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39696

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{a\sqrt{3}}{4} , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD). 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC = 2√3a , BD = 2a và cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \frac{a\sqrt{3}}{4} , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, và góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) với (SBD). 


A.
  VS.ABCD = \frac{\sqrt{5}a^3}{3}; \widehat{(SAB);(SBD)} = arccos\frac{1}{4}
B.
VS.ABCD = \frac{\sqrt{3}a^3}{3}; \widehat{(SAB);(SBD)} = arccos\frac{1}{8}
C.
VS.ABCD = \frac{\sqrt{3}a^3}{3}; \widehat{(SAB);(SBD)} = arccos2
D.
VS.ABCD = \frac{\sqrt{3}a^3}{3}; \widehat{(SAB);(SBD)} = arccos\frac{1}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết AC = 2a√3; BD = 2a và AC, BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có ∆ABO vuông tại O và AO = a√3; BO = a. Gọi K là hình chiếu của O trên AB, gọi I là hình chiếu của O trên SK.

Từ giả thiết 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)

Ta chứng minh được khoảng cách O tới (SAB) là đoạn OI

Ta có trong tam giác vuông AOB ta có: 

\frac{1}{OK^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OD^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3a^{2}} => OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao 

=> \frac{1}{OI^{2}} = \frac{1}{OK^{2}} + \frac{1}{SO^{^{2}}} => SO = \frac{a}{2}.

Diện tích đáy SABCD = 4S∆ABO = 2.OA.OB = 2√3a2

Đường cao của hình chóp SO = \frac{a}{2}

Thể tích khối chóp S.ABCD: VS.ABCD = \frac{1}{3}SABCD.SO = \frac{\sqrt{3}a^{3}}{3}

Ta có hình chiếu của tam giác SAB trên mặt phẳng (SBD) là ∆SBO

Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SBD) ta có cosα =  \frac{S_{SBO}}{S_{SAB}}

Ta có SSBO = \frac{1}{2}OB.SO = \frac{a^e_2}{4}, SK = a => SSAB = a2 

=> cosα = \frac{1}{4} => α = arccos\frac{1}{4} 

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết