Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 57382

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = 2a, \widehat{BAD} = 600 . Hình chiếu vuônggóc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABD. Biết tam giác SAC vuông tại đỉnh S, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = 2a,  = 600 . Hình chiếu vuônggóc

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AB = 2a, \widehat{BAD} = 600 . Hình chiếu vuônggóc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm H của tam giác ABD. Biết tam giác SAC vuông tại đỉnh S, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có tam giác ABD đều. Gọi {O} = AC ∩ BD . Ta có AC = 2AO = 2√3a .

Diện tích hình thoi ABCD là S.ABCD = \frac{1}{2}AC.BD = 2√3a2

H là trọng tâm của ∆ ABD nên  AH = \dpi{80} \frac{2}{3}AO =\frac{2\sqrt{3}a}{3}

CH = \frac{2}{3}AC = \frac{4\sqrt{3}a}{3}

Tam giác SAC vuông tại S, có đường cao SH nên ∆SAH đồng dạng với ∆ CSH ( vì cùng đồng dạng với tam giác ASC:

=> \frac{SH}{CH} = \frac{AH}{SH} => SH = \frac{2\sqrt{6}}{3}a

Thể tích khối chóp S.ABCD là V = \frac{1}{3} SH. S(ABCD) = \frac{4\sqrt{2}}{3}a3

Gọi M là trung điểm của cạnh SC

Tam giác SAC vuông tại S nên OM ⊥ SC ( do OM là đường trung bình trong tam giÁC SAC)(1)

Ta có OB ⊥ SH,OB ⊥ AC ⇒OB ⊥ SC,OB ⊥OM (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng góc \widehat{BMO}

Ta có OM = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2}\sqrt{AH^{2}+SH^{2}} = a; OB = \frac{1}{2}BD = a

Tam giác OBM vuông cân tại O

=> \widehat{OMB} = 450

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 450

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết