Skip to main content

Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8\sqrt{4-x-y}

Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8\sqrt{4-x-y}


A.
MaxP = 6+8√2
B.
MaxP = 6-8√2
C.
MaxP = 5+8√2
D.
MaxP = 5- 8√2
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y

Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2

Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]

Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8\sqrt{4-x-y} ≤ (x+y)2 + (x+y) + 8\sqrt{4-x-y} = t2 + t + 8\sqrt{4-t}

Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]

Ta có f’(t) = 2t +1 -\frac{4}{\sqrt{4-t}} , với mọi t ∊ [1;2]

Chú ý rằng f’(t) > 3 -\frac{4}{\sqrt{2}} > 0  với mọi t ∊ (1;2)

Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2

Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi \left\{\begin{matrix} xy=0\\ t=2 \end{matrix}\right.. <= > x=2, y=0

Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0

 

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)