Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 3468

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} + \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} + \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} + \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} + \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)}


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{1}{3}
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là -\frac{1}{3}
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \frac{3}{2}
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là -\frac{3}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta chứng minh \frac{a^{5}+b^{5}}{ab(a+b)} ≥ \frac{a^{2}+b^{2}}{2}              (*)

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

2(a5 + b5) ≥ ab(a + b)(a2 + b2)

⇔2(a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4) ≥ ab(a + b)(a2 + b2)

⇔2(a4 + a2 b2 + b4) ≥ 3ab(a2 + b2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có

2(a4 + a2b2 + b4) = (a4 + b4) + (a2 + b2)2 ≥ \frac{3}{2} (a2 + b2)2 ≥ 3ab(a2 + b2)

Vậy (*) đúng. 

Tương tự ta cũng có \frac{b^{5}+c^{5}}{bc(b+c)} ≥ \frac{b^{2}+c^{2}}{2} ; \frac{c^{5}+a^{5}}{ca(c+a)} ≥ \frac{c^{2}+a^{2}}{2}

Suy ra P ≥ a2 + b2 + c2 ≥ \frac{1}{3} (a + b + c)2 = \frac{1}{3}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{1}{3}, đạt khi a = b = c = \frac{1}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết