Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9133

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =  \frac{2}{x^{2}+1} + \frac{3}{y^{2}+1} - \frac{2}{z^{2}+1}.

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x, y , z thỏa mãn xyz + x + y – z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =  \frac{2}{x^{2}+1} + \frac{3}{y^{2}+1} - \frac{2}{z^{2}+1}.


A.
Pmax = \frac{10}{7}
B.
Pmax = \frac{10}{3}
C.
Pmax = \frac{3}{8}
D.
Pmax = \frac{9}{8}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: xyz + x + y = z ⇔x + y = z(1 –xy) ⇔ z = \frac{x+y}{1-xy} (vì x, y ,z > 0 => 1 –xy > 0)

Đặt x = tanα, y = tanβ với α, β ∈(0; \frac{\pi }{2}) khi đó z = tan(α + β) và biểu thức trở thành: P = \frac{2}{1+tan^{2}\alpha } + \frac{3}{1+tan^{2}\\\beta } -\frac{2}{1+tan^{2}(\alpha +\beta )} 

= 2cos2α + 3cos2β – 2cos2(α + β)

= cos2α+ 1 + 3cos2β - [cos(2α + 2β ) + 1]

= 2sinβsin(2α + β) + 3(1 – sin2β)

Đặt t = sinβ thì P ≤ -3t2 + 2t + 3 = -3( t - \frac{1}{3})2 +\frac{10}{3} ≤ \frac{10}{3}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : \left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\sin(2\alpha +\beta )=1\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\2\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta +2k\pi \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}sin\beta =\frac{1}{3}\\\cos2\alpha =sin\beta \end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}cos^{2}\beta =\frac{8}{9}\\\cos^{2}\alpha =\frac{2}{3}\end{matrix}\right.

⇔\left\{\begin{matrix}y^{2}=tan^{2}\beta =\frac{1}{8}\\x^{2}=tan^{2}\alpha =\frac{1}{2}\end{matrix}\right.

Do đó: Pmax = \frac{10}{3}tại , chẳng hạn (x; y ; z) = ( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; √2)

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết