Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7681

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}


A.
P min=\frac{3}{2}
B.
P min=\frac{16}{15}
C.
P min=3
D.
P min=\frac{1}{15}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x=a+b+c, y=b+c+4a, z=c+a+16b. Khi đó x,y,z>0 và

a=\frac{y-x}{3}, b=\frac{z-x}{15}, c=\frac{21x-5y-z}{15}

=\frac{-6x+5y+z}{15x}+\frac{20x-5y}{15y}+\frac{16x-z}{15z}= -\frac{4}{5}+\frac{1}{3}.\frac{y}{x}+\frac{1}{15}.\frac{z}{x}+\frac{4}{3}.\frac{x}{y}+\frac{16}{15}.\frac{x}{z}

=\frac{1}{3}(\frac{y}{x}+4\frac{x}{y})+\frac{1}{15}(\frac{z}{x}+16\frac{x}{z})-\frac{4}{5} ≥\frac{4}{3}+\frac{8}{15}-\frac{4}{5}=\frac{16}{15}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} y^{2}=4x^{2}\\z^{2}=16x^{2} \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=2x\\z=4x \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} b+c+4a=2(a+b+c)\\c+a+16b=4(a+b+c) \end{matrix}\right. <=> a=\frac{5}{7}c; b=\frac{3}{7}c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{16}{15} đạt được khi a=\frac{5}{7}c; b=\frac{3}{7}c

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết