Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10730

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}}.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất củ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}}.


A.
Giá trị nhỏ nhất bằng -1 .
B.
Giá trị nhỏ nhất bằng 3 .
C.
Giá trị nhỏ nhất bằng 2 .
D.
Giá trị nhỏ nhất bằng 1 .
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Với mọi x, y > 1 ta có \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{1}{1+y^{2}}≥ \frac{2}{1+xy}

Thật vậy \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{1}{1+y^{2}} ≥ \frac{2}{1+xy}⇔(2 + x2 + y2)(1 + xy) ≥ 2(1 + x2)(1 + y2) ⇔(xy – 1)(x – y)2 ≥ 0 luôn đúng với mọi x, y > 1

Dấu “=” xảy ra khi x  = y

Vì a, b ,c dương nên 8a, 8b, 8c lớn hơn 1. Áp dụng kết quả trên ta có

\frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}} + \frac{1}{1+ 2} ≥ \frac{2}{1+\sqrt{8^{a+b}}} + \frac{2}{1+\sqrt{2.8^{c}}} ≥ \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{8^{a+b}.8^{c}.2}}}= \frac{2}{1+\sqrt{\sqrt{16}}}= \frac{4}{3}

=> \frac{1}{1+8^{a}} + \frac{1}{1+8^{b}}+ \frac{1}{1+8^{c}} ≥ 1

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi a= b = c = \frac{1}{3}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết