Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34168

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biể

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x ≥ z. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}


A.
maxP= √ 5
B.
maxP= √ 3
C.
maxP= √ 2
D.
maxP=1
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

P=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z}{y})^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{z}}}

Trước hết ta chứng minh BĐT \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}(*); với a,b >0, ab ≤ 1

Ta có: \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{1+a^{2}}+ \frac{1}{1+b^{2}}\right )}

Mặt khác \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow (a-b)2(ab-1)≤ 0 luôn đúng với a, b >0, ab ≤ 1

Suy ra BĐT (*) đúng. Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi a=b

Áp dụng BĐT (*) ta có P\leq \frac{2}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{z}{x}}}

Đặt t=\frac{z}{x}, 0<t≤1, P\leq \frac{2}{\sqrt{1+t}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{t}}}=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}

Xét hàm số f(t)=\frac{\sqrt{t}+2}{\sqrt{t}+1}; 0<t≤1, f'(t)=\frac{1-2\sqrt{t}}{2\sqrt{t}\sqrt{(t+1)^{3}}} ; f'(t)=0 => t \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}

 

Vậy maxP= √ 5 khi \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}=\frac{z}{y} & \\ t=\frac{1}{4}=\frac{z}{x} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2y=4z

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết