Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9109

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = \frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} + \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} + \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = \frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} + \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} + \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}}


A.
maxA = -\frac{1}{3}
B.
maxA = -\frac{1}{2}
C.
maxA = \frac{1}{2}
D.
maxA = \frac{1}{3}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương bất kỳ x và y, ta có:

xy ≤ \frac{(x+y)^{2}}{2} ⇔ \frac{xy}{x+y} ≤ \frac{x+y}{4}

Vì các số a, b, c, \sqrt{ab}, \sqrt{ca}, \sqrt{bc} đều dương nên ta áp dụng kết quả trên, ta có:

\frac{a\sqrt{bc}}{a+\sqrt{bc}} ≤ \frac{a+\sqrt{bc}}{4} ; \frac{b\sqrt{ac}}{b+\sqrt{ac}} ≤ \frac{b+\sqrt{ac}}{4} ; \frac{c\sqrt{ab}}{c+\sqrt{ab}} ≤ \frac{c+\sqrt{ab}}{4}

Kết hợp với các BĐT \sqrt{bc} ≤ \frac{b+c}{2} ; \sqrt{ca} ≤ \frac{c+a}{2} ; \sqrt{ab} ≤ \frac{a+b}{2}, suy ra

A ≤ \frac{1}{4}(a + \sqrt{bc} + b + \sqrt{ca} + c + \sqrt{ab}) ≤ \frac{1}{2}(a + b + c) = \frac{1}{2}

A = \frac{1}{2} ⇔ \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{bc};b=\sqrt{ca};c=\sqrt{ab}\\a=b=c \\ a+b+c=1 \end{matrix}\right. ⇔ a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy maxA = \frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết