Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13407

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48(frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}+frac{1}{sqrt[3]{b+c}})

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn: a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a+b+c+48(frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}+frac{1}{sqrt[3]{b+c}})


A.
56
B.
57
C.
58
D.
59
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có a^{2}+b^{2}+c^{2}=5(a+b+c)-2ab <=> (a+b)^{2}+c^{2}=5(a+b+c)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

(a+b)^{2}+c^{2}geq frac{1}{2}.(a+b+c)^{2} => frac{1}{2}.(a+b+c)^{2}leq 5(a+b+c) => 0<a+b+cleq 10

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:

frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}=frac{1}{sqrt{frac{a+10}{3}}}; sqrt{frac{a+10}{3}}=frac{1}{2}.sqrt{frac{a+10}{3}.4}leq frac{1}{4}.(frac{a+10}{3}+4)=frac{a+22}{12}

=> frac{sqrt{3}}{sqrt{a+10}}geq frac{12}{a+22}

sqrt[3]{b+c}=frac{1}{4}.sqrt[3]{(b+c).8.8}leq frac{1}{4}.frac{b+c+8+8}{3}=frac{b+c+16}{12} => frac{1}{sqrt[3]{b+c}}geq frac{12}{b+c+16}

=> Pgeq a=b+c+48.12.(frac{1}{a+22}+frac{1}{b+c+16})

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:

frac{1}{a+22}+frac{1}{b+c+16}geq frac{4}{a+b+c+38} => Pgeq a+b+c+frac{2304}{a+b+c+38}

Đặt t=a+b+c => t in (0;10] => P geq t+frac{2304}{t+38}. Xét hàm f(t)=t+frac{2304}{t+38} trên (0;10]

Ta có: f'(t)=1-frac{2304}{(t+38)^{2}}=frac{(t-10).(t+86)}{(t+38)^{2}} => f'(t)leq0 mọi t in (0;10]

=> f(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t)geq f(10) mọi t in(0;10]; f(10)=58

=> Pgeq58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi left{begin{matrix} a+b+c=10\ a+b=c\ frac{a+10}{3}=4\ b+c=8 end{matrix}right. <=> left{begin{matrix} a=2\ b=3\ c=5 end{matrix}right.

Vậy MinP=58, đạt được khi: a=2; b=3; c=5

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết