Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16605

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=14(a2 +b2 +c2) + frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}.

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nh

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F=14(a2 +b2 +c2) + frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}.


A.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{23}{3}
B.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{25}{3}
C.
 giá trị nhỏ nhất của F là 9
D.
 giá trị nhỏ nhất của F là frac{28}{3}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: a,b,c>0 và a+b+c=1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

a2 +b2 +c2 = (a2 +b2 +c2)(a+b+c )

=a3+a2b+a2c+ab2+b3+b2c+c2a+bc2+c3

 =(a3+ab2)+(b3+bc2)+(a2c+c3)+(a2b+b2c+c2a)

geq 2a2b+2b2c+2c2a+(a2b+b2c+c2a)=3(a2b+b2c+c2a)

Và 3(a2b+b2c+c2a)= (a – b)2 +(b – c)2+(c-a)2+(a+b+c)2geq(a+b+c)2=1.

=>a2 +b2 +c2 geq frac{1}{3}. Đặt x=a2 +b2 +c2 (x>0)

Ta có:

F =14(a2 +b2 +c2)+frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}geq14(a2 +b2 +c2)+3.frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}

=14x+frac{3left ( 1-x) right )}{2x} = 14x+ frac{3}{2x} - frac{3}{2} = frac{1}{2}x + frac{3}{2}left ( 9x+frac{1}{x} right ) - frac{3}{2}

geq frac{1}{2}.frac{1}{3}+frac{3}{2}.2.sqrt{9x.frac{1}{x}}-frac{3}{2}=frac{1}{6} +9 - frac{3}{2}geq frac{23}{3}

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c và x=frac{1}{3} <=> a=b=c=frac{1}{3}

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là frac{23}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết