Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 987

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của CD,AD và DD'; O là tâm hình vuông A'B'C'D'.Tính thể tích khối tứ diện O.IJK và chứng minh rằng B'D⊥(IJK).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi I,J,K lần lượt là trung đi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của CD,AD và DD'; O là tâm hình vuông A'B'C'D'.Tính thể tích khối tứ diện O.IJK và chứng minh rằng B'D⊥(IJK).


A.
VO.IJK=\frac{a^{3}}{-16}(đvtt)
B.
VO.IJK=\frac{a^{3}}{16}(đvtt)
C.
VO.IJK=\frac{a^{3}}{-14}(đvtt)
D.
VO.IJK=\frac{a^{3}}{14}(đvtt)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì A'B'//IK và A'C'//IJ nên (A'BC')//(IJK)=>OB//(IJK)

Gọi H là giao điểm của BD và IJ.

Ta có :d(O,(IJK))=d(B,(IJK))=3d(D,(IJK))  (vì BH=3DB)

Mà D.IJK là tứ diện vuông tại D nên

\frac{1}{d(D,(IJK))^{2}}=\frac{1}{DI^{2}}+\frac{1}{DJ^{2}}+\frac{1}{DK^{2}}=\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}}+\frac{4}{a^{2}} => d(D,(IJK))=\frac{a}{\sqrt{12}}

Từ đó suy ra d(O,(IJK))=\frac{3a}{\sqrt{12}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Mặt khác tam giác IJK đều có cạnh bằng \frac{a\sqrt{2}}{2} nên SIJK=\frac{IJ^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}

Vậy VO.IJK=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{8}=\frac{a^{3}}{16}(đvtt)

Ta có IJ⊥BD (do IJ//AC) và IJ⊥BB' (do BB'⊥(ABCD))

Suy ra IJ⊥(BB'D)=>B'D⊥ IJ. Tương tự ta có B'D⊥ JK

Từ đó suy ra B'D⊥(IJK).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết