Skip to main content

Cho các số thực x , y , z thỏa mãn \small \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\y\geq 0 \\ x^{2}+2y^{2}=1 \end{matrix}\right. Chứng minh rằng 1 + \small \sqrt{1+\sqrt{2}} ≤ \small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y} ≤ \small \sqrt{4+2\sqrt{6}}

Cho các số thực x , y , z thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x , y , z thỏa mãn \small \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\y\geq 0 \\ x^{2}+2y^{2}=1 \end{matrix}\right. Chứng minh rằng 1 + \small \sqrt{1+\sqrt{2}} ≤ \small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y} ≤ \small \sqrt{4+2\sqrt{6}}


A.
Chứng minh: x + y ≤ -\frac{\sqrt{6}}{2} x + y ≥ -\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
Chứng minh: x + y ≤ \frac{\sqrt{6}}{2} x + y ≥ -\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
Chứng minh: x + y ≤ \frac{\sqrt{6}}{2} x + y ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}
D.
Chứng minh: x + y ≤ -\frac{\sqrt{6}}{2} x + y ≥ \frac{\sqrt{2}}{2} 
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y})2  ≤ 2(2 + 2(x + y))

Và (x + y)2 = (1.x + \frac{1}{\sqrt{2}} . √2 y)2  ≤ (1 + \frac{1}{2})(x2 + 2y2) = \frac{3}{2}

Suy ra x + y ≤ \frac{\sqrt{6}}{2}

Do đó  \small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y} ≤ \small \sqrt{4+2\sqrt{6}}

Ta lại có:

(\small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y})2  = 2 + 2(x + y) + 2\sqrt{1+2(x+y)+4xy} ≥ 2 + 2(x + y) + 2\sqrt{1+2(x+y)}

Mặt khác

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≥ \frac{x^{2}}{2} + y2 = \frac{1}{2} ⇒ x + y ≥ \frac{\sqrt{2}}{2}

Do đó \small \sqrt{1+2x} + \small \sqrt{1+2y} ≥ 1 + \small \sqrt{1+\sqrt{2}}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx