Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 801

Cho các số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P = \frac{9}{\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}} - \frac{16}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

Cho các số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = \frac{9}{\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}} - \frac{16}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}


A.
Giá tri nhỏ nhất của P là 4
B.
Giá tri nhỏ nhất của P là -4
C.
Giá tri nhỏ nhất của P là 5
D.
Giá tri nhỏ nhất của P là -5
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 1+a2+b2+c2≥\frac{1}{2}(1+a)2+\frac{1}{2}(b+c)2≥\frac{1}{4}(1+a+b+c)2

Suy ra \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}}≤\frac{2}{1+a+b+c}

Áp dụng bất đẳng thức Côsi,ta có

\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}≤\frac{a+b}{2}.\frac{a+2c+b+2c}{2}=\frac{1}{4}(a+b)(a+b+4c)

=\frac{1}{12}.3(a+b)(a+b+4c)≤\frac{1}{12}.\frac{\left[3(a+b)+(a+b+4c)\right]^{2}}{4}

=\frac{(a+b+c)^{2}}{3}

Suy ra \frac{1}{\sqrt{ab(a+2c)(b+2c)}}≥\frac{3}{(a+b+c)^{2}}

Từ đó ta có P≥\frac{27}{(a+b+c)^{2}}-\frac{32}{1+a+b+c}

Đặt t=a+b+c. Khi đó t>0 và P≥\frac{27}{t^{2}}-\frac{32}{t+1}

Xét hàm f(t)=\frac{27}{t^{2}}-\frac{32}{t+1} trên (0;+∞)

Ta có f'(t)=\frac{54}{t^{3}}+\frac{32}{(t+1)^{2}}; f'(t)=0 ⇔ (t-3)(16t2+21t+9)=0 ⇔ t=3

Do f'(1)=-460 trên (3;+∞)

Suy ra \min_{(0,+\infty)}f(t)=f(3)=-5

Do đó P≥-5, dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Vậy giá tri nhỏ nhất của P là -5,đạt khi a=b=c=1

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết