Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7681

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị  nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}


A.
P min=\frac{3}{2}
B.
P min=\frac{16}{15}
C.
P min=3
D.
P min=\frac{1}{15}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt x=a+b+c, y=b+c+4a, z=c+a+16b. Khi đó x,y,z>0 và

a=\frac{y-x}{3}, b=\frac{z-x}{15}, c=\frac{21x-5y-z}{15}

=\frac{-6x+5y+z}{15x}+\frac{20x-5y}{15y}+\frac{16x-z}{15z}= -\frac{4}{5}+\frac{1}{3}.\frac{y}{x}+\frac{1}{15}.\frac{z}{x}+\frac{4}{3}.\frac{x}{y}+\frac{16}{15}.\frac{x}{z}

=\frac{1}{3}(\frac{y}{x}+4\frac{x}{y})+\frac{1}{15}(\frac{z}{x}+16\frac{x}{z})-\frac{4}{5} ≥\frac{4}{3}+\frac{8}{15}-\frac{4}{5}=\frac{16}{15}

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \left\{\begin{matrix} y^{2}=4x^{2}\\z^{2}=16x^{2} \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=2x\\z=4x \end{matrix}\right.

<=> \left\{\begin{matrix} b+c+4a=2(a+b+c)\\c+a+16b=4(a+b+c) \end{matrix}\right. <=> a=\frac{5}{7}c; b=\frac{3}{7}c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \frac{16}{15} đạt được khi a=\frac{5}{7}c; b=\frac{3}{7}c

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết