Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 7291

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z – 2 = 0. Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S ) là mặt cầu đi qua bốn điểm A’, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn (K) là giao của (P) và (S).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1;2), B(1;3;

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z – 2 = 0. Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi (S ) là mặt cầu đi qua bốn điểm A’, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn (K) là giao của (P) và (S).


A.
H(  \frac{5}{3} ; \frac{1}{6}; \frac{1}{6}); ( C ) có bán kính \frac{\sqrt{186}}{6}
B.
Tâm I( - \frac{5}{2} ; 1;1); ( C ) có bán kính\frac{\sqrt{186}}{6}
C.
Tâm I(\frac{5}{2} ; 1; - 1); ( C ) có bán kính\frac{\sqrt{186}}{6}
D.
Tâm I(\frac{5}{2} ; - 1;1); ( C ) có bán kính\frac{\sqrt{186}}{6}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

A'( 1; -1; 0)

Giả sử phương trình mặt cầu (S) đi qua A’, B, C, D là x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, (a2 +  b2 + c2 – d > 0)

Vì A’,B,C,D∈ (S) nên ta có hệ:  \left\{\begin{matrix} 2a-2b+d+2=0 & \\ 2a+6b+4c+d+14=0 & \\ 8a+6b+4c+d+29=0& \\ 8a-2b+4c+d+21=0 & \end{matrix}\right. 

⇔ \left\{\begin{matrix} a=-\frac{5}{2} & \\ b=-1 & \\ c=-1 & \\ d=1 & \end{matrix}\right. 

Vậy mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 – 5x – 2y – 2z + 1 = 0

(S) có tâm I(\frac{5}{2} ; 1;1), bán kính R = \frac{\sqrt{29}}{2}

+ Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đương tròn (C )

+ Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). d có vectơ chỉ phương là \vec{n}(1;1;1)

Suy ra phương trình của d: \left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{2}+t\\y=1+t\\z=1+t\end{matrix}\right.

 =>H(\frac{5}{2} + t;1+t;1+t). Do H=d∩(P) nên \frac{5}{2} + t + 1+ t + 1 + t -2 = 0 ⇔3t = - 5/2  ⇔ t = \frac{-5}{6}=>H(  \frac{5}{3} ; \frac{1}{6}; \frac{1}{6})

IH = \sqrt{\frac{75}{36}}  = \frac{5\sqrt{3}}{6}, ( C ) có bán kính

 r = \sqrt{R^{2}-IH^{2}} = \sqrt{\frac{29}{4}-\frac{75}{36}}   =  \frac{\sqrt{186}}{6}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết