Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 690

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 300 .Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Biết rằng góc giữa CA' và (ABCD) bằng 300 .Góc giữa (A'BC) và (ABCD) bằng 450 và khoảng cách từ C' đến (A'CD) bằng a. Tính thể tích khối hộp đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA'DE, trong đó E là trung điểm của CD.


A.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{2},     R=\frac{5a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}
B.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2},    R=\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}
C.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{2a^{3}\sqrt{3}}{2},     R=\frac{2a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}
D.
VABCD.A’B’C’D’=\frac{5a^{3}\sqrt{3}}{2},    R=\frac{a\sqrt{39}}{3\sqrt{2}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì AA'⊥(ABCD) nên \widehat{(CA',(ABCD))} = \widehat{A'CA} = 300

Vì AA'⊥(ABCD) và AB⊥BC nên \widehat{((A'BC),(ABCD))}=\widehat{A'BA}=450

Ta có d(C',(A'CD))=d(D',(A'CD))=d(A,(A'CD))=d(A,(A'CD))=AH,

Trong đó H là hình chiếu của A lên A'D.

Đặt AA'=x. Trong đó tam giác A'AB vuông tại A, có \widehat{A'BA}=450 suy ra AB=x

Trong tam giác A'CA vuông tại A, có \widehat{A'CA}=300 suy ra AC = x√3.

Khi đó AD=BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{3x^{2}-x^{2}} = x√2.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác A'AD vuông tại A, có đường cao AH ta được 

\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AA'^{2}}+\frac{1}{AD^{2}}⇔ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{2x^{2}} => x=\frac{a\sqrt{6}}{2}

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = \frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{12}}{2} = \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{2}(đvtt).

Ta thấy \widehat{A'DE} = \widehat{A'AE} = 900 nên tứ diện AA'DE nôị tiếp mặt cầu đường kính A'E.

Khi đó mặt cầu này có bán kính là R = \frac{1}{2}A'E = \frac{1}{2}\sqrt{A'D^{2}+DE^{2}}

=\frac{1}{2}\sqrt{A'A^{2}+AD^{2}+DE^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3a^{2}}{2}+3a^{2}+\frac{3a^{2}}{8}}=\frac{a\sqrt{39}}{4\sqrt{2}}

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết