Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 588

Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

Cho các số thực x,y thỏa mãn x

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.


A.
7
B.
9
C.
6
D.
-6
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức ab≤ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} với mọi a,b ta có 

x\sqrt{2-y^{2}} ≤ \frac{x^{2}+2-y^{2}}{2}, y\sqrt{2-x^{2}} ≤ \frac{y^{2}+2-x^{2}}{2}.               (*)

Suy ra 2 = x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} ≤ 2.

Do đó (*) xảy ra dấu đẳng thức.

Điều đó tương đương với x = \sqrt{2-y^{2}} và y = \sqrt{2-x^{2}}

Suy ra x, y ≥ 0 và x2 + y2 = 2. Đặt t = x + y.

Khi đó 0 ≤ t ≤ \sqrt{2(x^{2}+y^{2})} = 2.

Ta có : P  =(x+y)3 + 12(x+y) - 12xy - 12 + √xy

            ≤(x+y)3 + 12(x+y) - 12\frac{(x+y)^{2}-(x^{2}+y^{2})}{2} - 12 + \frac{x+y}{2}

            ≤ t3 + 12t - 6t2 + 1 = t3 - 6t2 + 12 t+ 1

Xét hàm f(t)=t3-6t2+12t+1 trên \begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}. Ta có

            f'(t) = 3t2 - 12t + 12 =3(t-2)^{2} >0, với mọi t\epsilon(0;2).

Suy ra f(t) đồng biến trên \begin{bmatrix}0;2\end{bmatrix}. Do đó f(t)≤ f(2) = 9. Suy ra P ≤ 9

Dấu đẳng thức xảy ra khi ra t = 2 hay x = y = 1

Vậy giá trị lớn nhất của P là 9, đạt khi x = y = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết