Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x+ y+8
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8
≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 -
, với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 -
> 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi 
. <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Ta có giả thiết x2 + y2 + (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)2 – 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)2 – 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x2 + y2 + x +y + 8 ≤ (x+y)2 + (x+y) + 8 = t2 + t + 8
Xét hàm số f(t) = t2 + t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số phức z thỏa mãn
+
=2
. -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.