Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 4429

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c=\frac{bc}{2} và tìm b,c để S∆ABC nhỏ nhất

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) l

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;0;0), M(1;1;1). Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn qua đường thẳng đường thằng AM và cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại B(0;b;0), C(0;0;c) với b,c>0 Chứng minh: b+c=\frac{bc}{2} và tìm b,c để S∆ABC nhỏ nhất


A.
b=5; c=1
B.
 b=4; c=3
C.
 b=c=4
D.
 b=c=5
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C.

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng đoạn chắn:

(P): \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1

Lại có: M(1;1;1) ∈(P) nên:

\frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 => \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} <=> b+c=\frac{bc}{2}.

Để tính diện tích tam giác ABC ta áp dụng tính chất của tích có hướng của 2 vecto

S∆ABC = \frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|

Có: \vec{AB}=(-2;b;0)

\vec{AC}=(-2;0;c)

=> [\vec{AB},\vec{AC}]=(bc;2c;2b)

Từ đó suy ra: 

S∆ABC = \frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}}.

Ta có:

\frac{b+c}{2}≥\sqrt{bc} dấu ''='' khi b=c

Theo trên:

b+c=\frac{bc}{2} => \frac{bc}{2}≥2\sqrt{bc} => bc≥16

S=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+4c^{2}+4b^{2}} ≥\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}c^{2}+2\sqrt{4c^{2}+4b^{2}}}

 ≥\frac{1}{2}\sqrt{16^{2}+8.16} =4\sqrt{6}

Vậy GTNN S∆ABC =4\sqrt{6} đạt được khi:

\left\{\begin{matrix} b=c\\b+c=\frac{bc}{2} \end{matrix}\right. <=> b=c=4

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết