Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng / Câu hỏi 425

Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

Tính tích phân I=

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx


A.
I=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})
B.
I=\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})
C.
I=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})
D.
I=\sqrt{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2sinxcosx+2cos^{2}x-1}{sinx+cosx}dx=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2cosx(sinx+cosx)-1}{sinx+cosx}dx

=2\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}cosxdx-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}=2sinx\begin{vmatrix}\frac{\prod}{4}\\0\end{vmatrix}-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

=\sqrt{2}-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

Tính J=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

Ta có J=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{\sqrt{2}cos(x-\frac{\prod}{4})}=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)dx}{\sqrt{2}cos^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}

=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dsin\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}{1-sin^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0}\frac{dt}{1-t^{2}} , với t=sin(x-\frac{\prod}{4})

=\int_{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{0}\left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(ln\left|t+1\right|-ln\left|t-1\right|\right)\begin{vmatrix}0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{vmatrix}

=-\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})

suy ra I=\sqrt{2} +\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết