Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:
12
+ 22
+ ... + n2
= n(n + 1).2n-2
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:
12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1).2n-2
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Từ (1 + x)n = 
+ 
x + ... + 
xn. Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ta có:
n(1 + x)n = 1. + 2.
x + ... + n.xn-1 (1)
n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2.1. + 3.2.
x + ... + n(n - 1)xn-2 (2)
Trong (1) và (2) lần lượt cho x = 1 ta được:
n2n-1 = 1. + 2. + ... + n. (3)
n(n - 1)2n-2 = 2.1. + 3.2. + ... + n(n - 1). (4)
Ta có 
k2
= [k(k - 1) + k] = k(k - 1) + k.
= n(n - 1).2n-2 + n.2n-1 (từ (3) và (4))
= n(n + 1).2n-2
Vậy 12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1).2n-2
Từ (1 + x)n = + x + ... + xn. Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ta có:
n(1 + x)n = 1. + 2.x + ... + n.xn-1 (1)
n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2.1. + 3.2.x + ... + n(n - 1)xn-2 (2)
Trong (1) và (2) lần lượt cho x = 1 ta được:
n2n-1 = 1. + 2. + ... + n. (3)
n(n - 1)2n-2 = 2.1. + 3.2. + ... + n(n - 1). (4)
Ta có k2 = [k(k - 1) + k] = k(k - 1) + k.
= n(n - 1).2n-2 + n.2n-1 (từ (3) và (4))
= n(n + 1).2n-2
Vậy 12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1).2n-2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d:
=
=
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.