Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 42330

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại C. M là trung điểm A'C'. Biết AC = a, BC = a√3, mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a .


A.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4} ; d = \frac{a}{\sqrt{40}} 
B.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
C.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}\sqrt{2}}{4} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
D.
VABC.A’B’C = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4} ; d = \frac{3a}{\sqrt{43}} 
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có 

VABC.A’B’C  = SABC.CC’

SABC = \frac{1}{2}.CA.CB = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}

(ABC') ∩ (ABC) = AB

Kẻ CH ⊥ AB = H => AB ⊥ (CC'H)

=> 600 = ((ABC’), (ABC)) = (CH, HC’) = \widehat{CHC'}

Xét tam giác vuông ABC có CH là chiều cao nên 

\frac{1}{CH^{2}} = \frac{1}{CA^{2}} + \frac{1}{CB^{2}} = \frac{1}{3a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{4}{3a^{2}} => CH = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Xét tam giác vuông CHC' có 

CC' = HC.tan600 = \frac{3a}{2} =>VABC.A’B’C = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}. \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3}3\sqrt{3}}{4}  (đvtt)

Gọi N là trung điểm của AC thì AM // C'N nên AM // (BC'N)

d(AM, BC’) = d(AM, (BC’N))  = d(A, (BC’N)). N là trung điểm của AC

Nên  d(A, (BC’N)) =  d(C, (BC’N)).

Ta có 

\frac{1}{d_{(C,BC'N)}} = \frac{1}{CN^{2}} + \frac{1}{CB^{2}} + \frac{1}{CC'^{2}} = \frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{3a^{2}}+\frac{4}{9a^{2}} = \frac{43}{9a^{2}} 

=> d(C, (BC’N)) = \frac{3a}{\sqrt{43}} . Vậy khoảng cách d cần tìm là \frac{3a}{\sqrt{43}} .

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết