Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 42293

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: có một acgumen bằng  và │z│=│2 - √3 + i│. Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .


A.
z = √3 + i
B.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i
C.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{5}i
D.
cả A và B
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} 

= \frac{1+i}{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}[(1 - √3) - (1 + √3)i]

= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2}\left[cos(- \frac{\Pi }{3}) + i.sin(- \frac{\Pi }{3})]

Đặt z = r(cos\varphi + isin\varphi); r > 0

Khi đó: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}z=\frac{r}{2}\left [ cos\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right )+isin\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right ) \right ]

Theo đề bài ta có: \varphi -\frac{\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{6}\Rightarrow z=\frac{r.\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i

Từ giả thiết của bài toán ta có: \left | \frac{r\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i \right |=\left | \sqrt{3}r-ri-\sqrt{3}+i \right |

<=> \left ( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{r}{2} \right )^{2} = 3.(r  - 1)2 +  (r  - 1)2 <=> \begin{bmatrix} r=2\\ r=\frac{2}{3} \end{matrix} 

Vậy có 2 số phức z = √3 + i hoặc z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết