Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 42288

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = \frac{1}{2} biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 = 16. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai e = \frac{1}{2} biết elip cắt đường tròn (C) tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB song song với trục Ox và AB = 2BC.


A.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{7}} = 1
B.
\frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1
C.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1
D.
\frac{x^{2}}{\frac{221}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{81}{5}} = 1
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Giả sử elip có phương trình chính tắc: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1  (a > b)

Theo đề bài: e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} <=> \frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{4} <=> \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{4}

<=> b2 = \frac{3}{4}a2

Suy ra elip có phương trình: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{4y^{2}}{3a^{2}} = 1 <=>  3x2 + 4y2 = 3a2

Tọa độ các điểm A, B, C, D là nghiệm hệ:\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=16\: \: (1)\\ 3x^{2}+4y^{2}=3a^{2} \: \: (2)\end{matrix}\right.

Vì elip và đường tròn cùng nhận Ox; Oy là trục đối xứng và AB // Ox nên A, B đối xứng nhau qua Oy; C, D đối xứng nahu qua Ox

AB = 2BC nên 2│x│= 2.2│y│ <=> x2 = 4y2  (3)

Từ (1) và (2) ta tính được: \left\{\begin{matrix} x^{2}=64-3a^{2}\\ y^{2}=3a^{2}-48 \end{matrix}\right.

Thay vào (3) ta được: a^{2}=\frac{256}{15}

Vậy phương trình chính tắc của elip: \frac{x^{2}}{\frac{256}{15}}+\frac{y^{2}}{\frac{64}{5}} = 1

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết