Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 41599

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}} . 

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x > 1, y > 1, z > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{x-1}{y^{2}} + \frac{y-1}{z^{2}} + \frac{z-1}{x^{2}} . 


A.
Min P = √3 + 2
B.
Min P = √3 + 1
C.
Min P = √3 - 1
D.
Min P = √3 - 2
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có 

P = \frac{x-1+y-1}{y^{2}}+\frac{y-1+z-1}{z^{2}}+\frac{z-1+x-1}{x^{2}}-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})

(1)

Mà \frac{x-1+y-1}{y^{2}} + \frac{y-1+z-1}{z^{2}} + \frac{z-1+x-1}{x^{2}}

= (x - 1)(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) + (y - 1)(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + (z - 1)(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}})

≥ (x - 1)\frac{2}{xy} + (y - 1)\frac{2}{yz} + (z - 1 ) \frac{2}{xz} (2)

Từ (1) và (2) suy ra 

P ≥  \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} - 2(\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx})  (3)

Từ giả thiết ta có \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} = 1 (4)

Mà \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} ≥ \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx}  = 1 (5)

(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} ≥ 3 (\frac{1}{xy} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zx} ) =>\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ √3 (6)

Từ (3), (4), (5) suy ra P ≥ √3 - 1

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết