Skip to main content

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, x, y là 4 số thực dương thỏa mãn  a5 + b5 = 2 và x, y ≤ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy(a^2 + b^2)} .


A.
\dpi{80} \frac{4}{8}
B.
\dpi{80} \frac{4}{9}
C.
\dpi{80} \frac{9}{4}
D.
\dpi{80} \frac{9}{4}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

a5 + a5 + 1 + 1+ 1 ≥ 5 \sqrt[5]{a^5 . a^5 . 1 . 1 . 1} = 5a2 .

b5 + b5 +  1 + 1 + 1 ≥ 5 \sqrt[5]{b^5 . b^5 . 1 . 1 . 1} = 5b2 .

=> 2a5 + 2b5 + 6 ≥  5a2 + 5b2 <=> a2 + b2 ≤ 2

Do đó P ≥ \frac{x^2 + 2y^2 + 24}{xy.2} = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy}

Xét hàm số f(x) = \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} + \frac{12}{xy} với x ∈ (0; 4] và y là tham số

Ta có f'(x) = \frac{x^2 - 2y^2 - 24}{2x^2y} ≤ \dpi{80} \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y} \frac{-8}{2x^2y} < 0 ∀x, y ∈ (0; 4]

=> f(x) nghịch biến trên (0; 4] => f(x) ≥ f(4)

=> P ≥ f(4) = \frac{2}{y} + \frac{y}{4} + \frac{3}{y} = \frac{y}{4} + \frac{5}{y} = g(y) với y ∈ (0; 4]

g'(y) = \frac{-5}{y^2} + \frac{1}{4} ≤  \frac{1}{4} + \frac{-5}{16} = \frac{-1}{16} < 0 ∀y ∈ (0; 4]

=> g(y) nghịch biến trên (0; 4] => g(y) ≥ g(4) = \dpi{80} \frac{5}{4} + 1 = \dpi{80} \frac{9}{4}

vậy min P = \dpi{80} \frac{9}{4} khi a = b = 1 và x = y = 4 .

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?