Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39935

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.


A.
minP = \frac{1}{9}
B.
minP = - \frac{1}{9}
C.
minP = - \frac{10}{9}
D.
minP = \frac{10}{9}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(xy + yz + zx) ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}) ≥ 3\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2} . \frac{3}{\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}} = 9

=> \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}  ≥ \frac{9}{xy + yz + zx} .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Khi đó P ≥ \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{9}{xy + yz + zx}

= \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{7}{xy + yz + zx}

 ≥ \frac{3}{\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}} + \frac{7}{xy + yz + zx}

Mặt khác 

\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}  ≤ \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} =  \frac{(x+y+z)^{2}}{3} = 9

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

<=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx

 

<=> (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)

<=> xy + yz + zx ≤ 9

Vậy p ≥ \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

Vậy minP = \frac{10}{9}.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết