Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39845

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1 = x + y - xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{xy}{x+y+1}

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

x + y ≠ -1, x2 + y2 - 1 = x + y - xy.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{xy}{x+y+1}


A.
P = 1
B.
P = -2
C.
P = 0
D.
P = -1
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có: x2 + y2 + xy = x + y + 1 ⇔ xy = (x + y)2 - (x + y) - 1

Đặt t = x + y, ta có: (x + y)2 ≥ 4xy.

Suy ra: 3t2 – 4t - 4 ≤ 0 ⇔ - \frac{2}{3} ≤ t ≤ 2. Khi đó P = \frac{t^{2}-t-1}{t+1}

Xét hàm số: f(t) = \frac{t^{2}-t-1}{t+1} , - \frac{2}{3} ≤ t ≤ 2

Ta có f'(t) = \frac{t^{2}+2t}{(t + 1)^{2}} = 0 ⇔ \left [\begin{matrix} t = 0 & & \\ t=-2 & & \end{matrix}

Do đó: f(- \frac{2}{3}) = f(2) = \frac{1}{3}; f(0) = -1

Vậy giá trị nhỏ nhất P = -1 khi t = 0 ứng với x = -1; y = 1 hoặc x = 1, y = -1

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết