Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3950

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện x2+y2=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})


A.
3\sqrt{2}+4
B.
\sqrt{2}+2
C.
1+2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta viết lại: A=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

x+\frac{1}{2x} ≥ 2\sqrt{x.\frac{1}{2x}} =\sqrt{2}, dấu "=" xảy ra khi x=\frac{1}{2x};

y+\frac{1}{2y} ≥2\sqrt{y.\frac{1}{2y}}= \sqrt{2},  dấu "=" xảy ra khi y=\frac{1}{2y}; 

\frac{x}{y}+\frac{y}{x} ≥2, dấu "=" xảy ra khi \frac{x}{y}=\frac{y}{x};

\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) ≥ \frac{2}{2\sqrt{xy}} = \frac{1}{\sqrt{xy}}  ≥ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}  ≥ \sqrt{2}, dấu "=" xảy ra khi \frac{1}{x}=\frac{1}{y}

Vậy A=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+2+\sqrt{2} =3\sqrt{2}+4.

Dấu "=" xảy ra <=> x,y thỏa mãn hệ \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2x}\\y=\frac{1}{2y} \\\frac{x}{y}=\frac{y}{x} \\\frac{1}{x}=\frac{1}{y}; x^{2}+y^{2}=1 \end{matrix}\right.<=> x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}Kết luận: GTNN của A=3\sqrt{2}+4 khi x=y=\frac{\sqrt{2}}{2} thì A=3\sqrt{2}+4

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết