Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39368

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}

Cho < x ≤  và y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 +

Câu hỏi

Nhận biết

Cho \frac{1}{3} < x ≤ \frac{1}{2} và y ≥ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x2 + y2 + \frac{x^{2}y^{2}}{[(4x-1)y-x]^{2}}


A.
MinP = \frac{9}{4}
B.
MinP =  \frac{3}{4}
C.
MinP = \frac{5}{4}
D.
MinP = \frac{7}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, 0 < b ≤ 1, 2 ≤ a < 3, P = \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(4-a-b)^{2}}

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho \frac{1}{b^{2}},\frac{1}{(4-a-b)^{2}} ta có:

P ≥  \frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{(4-a-b)b} ≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{8}{(4-a)^{2}} (áp dụng cô si cho 4 - a - b)

≥ \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{(4-a)^{2}}+\frac{7}{(4-a)^{2}}≥\frac{2}{(4-a)a}+\frac{7}{(4-a)^{2}} 

(cô-si cho \frac{1}{a^{2}} và \frac{1}{(4-a)^{2}})

≥ \frac{9}{4} ( vì (4 - a)a ≤ 4 và (4 – a )2 ≤ 4 (với 2 ≤ a < 3)

Dấu bằng xảy ra khi \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1 \end{matrix}\right. tức \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{matrix}\right. 

Vậy MinP = \frac{9}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết