Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 37138

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ac+b}} ≥ 3

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ac+b}} ≥ 3


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{1-c}{\sqrt{ab+1-b-a}}=\frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}

VT = \frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}+\frac{1-b}{\sqrt{(1-c)(1-a)}}+\frac{1-a}{\sqrt{(1-c)(1-b)}}

Do a, b, c dương và a + b + c = 1 nên a, b, c ∈ (0; 1) => 1 - a; 1- b; 1- c dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương ta được

VT ≥ 3\sqrt[3]{\frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}.\frac{1-b}{\sqrt{(1-c)(1-a)}}.\frac{1-a}{\sqrt{(1-c)(1-b)}}} = 3

(điều phải chứng minh)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \frac{1}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết