Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36653

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu t

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T= 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)


A.
Min T = -1
B.
Min T = 1
C.
Min T = - \frac{5}{3}
D.
Min T = \frac{5}{3}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

T = 2(a3 + b3 + c3 + 3abc ) + 3(a2 + b2 + c2 + 2abc)

Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 – 3(a + b)(b + c)(c + a)

=1 - 3(1 - c)(1 - a)(1 - b) = 1 - 3(ac + bc + ca – abc)

a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca) = 1 - 2(ab + bc + ca)

Do đó: T = 5 - 6[2(ab + bc + ca)- 3abc]

Đặt S = 2(ab + bc + ca) – 3abc. Ta tìm giá trị lớn nhất của S

Ta có S = ab(2 - 3c) + 2c (a + b)

Nếu 2 – 3c < 0 ⇔ c > \frac{2}{3} thì S < 2c(a + b)

Nếu 2 - 3c >0 ⇔ c < \frac{2}{3} thì S = ab(2 - 3c) + 2c(a + b) > 2c(a + b)

Suy ra: Chỉ cần xét 0 < c < \frac{2}{3}

Ta có S = 2c(1 - c) + (2 - 3c)ab ≤ 2c(1 - c) + (2 - 3c)((\frac{a+b}{2})^{2};

a + b = 1- c => S ≤ \frac{-3c^{3}+c+2}{4}

Xét hàm số f(c) = -3c3 + c + 2 trên (0; \frac{2}{3})

Ta được: f(c) ≤ f(\frac{1}{3}) = \frac{20}{9} => S ≤ \frac{5}{9} . Dấu = xảy ra khi a = b = c = \frac{1}{3}

Vậy: MinT = \frac{5}{3} xảy ra khi a = b = c = \frac{1}{3}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết