Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34212

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng \frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a + b + c = 3

Chứng minh rằng

\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0


A.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0
B.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} > 0
C.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} = 0
D.
\frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} < 0
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức 

⇔\frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca} ≥ 0

⇔\frac{3a(1-b)}{1+ab} + \frac{3b(1-c)}{1+bc} + \frac{3c(1-a)}{1+ca} ≥ 0

⇔\frac{a(1-b)}{1+ab} + \frac{b(1-c)}{1+bc} + \frac{c(1-a)}{1+ca} ≥ 0

⇔ \frac{a(1-b)}{1+ab} + 1 + \frac{b(1-c)}{1+bc} + 1 + \frac{c(1-a)}{1+ca} + 1 ≥ 3

⇔\frac{a+1 }{1+ab} + \frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca} ≥ 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có 

\frac{a+1 }{1+ab} +\frac{b+1 }{1+bc} + \frac{c+1 }{1+ca} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}

Ta phải chứng minh 

\sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}  ≥ 1

⇔(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

Thật vậy: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca)

⇔ abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 ≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1

⇔3 ≥ a2b2c2 +2abc (*)

Từ a + b + c = 3 suy ra 3 ≥ 3 \sqrt[3]{abc} ⇔ abc  ≤  1

Suy ra (*) đúng.

Vậy \frac{a(a+c-2b)}{1+ab} + \frac{b(b+a-2c)}{1+bc} + \frac{c(c+b-2a)}{1+ca} ≥ 0

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết