Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31741

Cho x, y,z, t \in(1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=log_{yzt}(x^{2}+4x-4)+log_{xzt}(y^{2}+4y-4)+log_{xyt}(z^{2}+4z-4)+log_{xyz}(t^{2}+4t-4)

Cho x, y,z, t

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y,z, t \in(1;2]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=log_{yzt}(x^{2}+4x-4)+log_{xzt}(y^{2}+4y-4)+log_{xyt}(z^{2}+4z-4)+log_{xyz}(t^{2}+4t-4)


A.
4
B.
6
C.
8
D.
10
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: x\in(1;2]   =>(x-1)(x2-4) \leq 0 => x2+4x-4 \geq x3. Mặt khác do yzt>1 nên ta có: log_{yzt}(x^{2}+4x-4)\geq log_{yzt}(x^{3})

Chứng minh tương tự ta có:

log_{xzt}(y^{2}+4y-4)\geq log_{xzt}(y^{3});log_{xyt}(z^{2}+4z-4)\geq log_{xyt}(z^{3});

log_{xyz}(t^{2}+4t-4)\geq log_{xyz}(t^{3})

Từ đó suy ra: P\geq log_{yzt}(x^{3})+log_{xzt}(y^{3})+log_{xyt}(z^{3})+log_{xyz}(t^{3})=Q

Đặt a=yzt; b=xzt; c=xyt; d=xyz.

Ta có a,b,c,d >1 và x^{3}=\frac{bcd}{a^{2}};y^{3}=\frac{acd}{b^{2}};z^{3}=\frac{abd}{c^{2}};t^{3}=\frac{abc}{d^{2}}

Do đó: Q=log_{a}(\frac{bcd}{a^{2}})+log_{b}(\frac{acd}{b^{2}})+log_{c}(\frac{abd}{c^{2}})+log_{d}(\frac{abc}{d^{2}})=(log_{a}b+log_{b}a)+(log_{a}c+log_{c}a)+(log_{a}d+log_{d}a)+(log_{c}c+log_{c}b)+(log_{b}d+log_{d}b)+(log_{c}d+log_{d}c)-8

Với hai số thực p,q >1 ta có: log_{p}q+lg_{q}p\geq 2\sqrt{log_{p}q.log_{q}p}=2

Do đó: P\geq Q\geq2+2+2+2+2+2-8=4

Khi x=y=z=t=2 thì P=4. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết