Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31738

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0}, BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 60^{0}. Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi 3.\overrightarrow{SB}=2.\overrightarrow{SD}.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \widehat{ABC}=60^{0}, BC=2a. Gọi H là điểm thuộc đoạn BC sao cho BC=4BH. Biết rằng SH vuông góc với mặt đáy (ABC) và SA tạo với mặt đáy một góc 60^{0}. Tính thể tích hình chóp S.ABC và chứng minh SC vuông góc với AD, trong đó D là điểm được xác định bởi 3.\overrightarrow{SB}=2.\overrightarrow{SD}.


A.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}
B.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{4}
C.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{5}}{8}
D.
V_{S.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là \widehat{SAH}=60^{0}. Ta có:

AH^{2}=BH^{2}+BA^{2}-2BH.BA.cos60^{0}=(\frac{a}{2})^{2}+a^{2}-2.\frac{a}{2}.a.\frac{1}{2}=\frac{3a^{2}}{4}

Suy ra AH\Rightarrow AH= \frac{a\sqrt{3}}{2}

\Rightarrow SH= AH. tan 60^{0}= \frac{3a}{2}

Từ đó: V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{4}

Ta có: AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}\Rightarrow AH\perp BC. Kết hợp với AH\perp SH ⊥ SH suy ra AH\perp (SBC) nên AH ⊥ SC (1)

Ta có: SB=\sqrt{SH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{(\frac{3a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}

 => SD \Rightarrow SD=\frac{3}{2}SB=\frac{3a\sqrt{10}}{4}

cos\widehat{SBH}=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow cos\widehat{CBD}=-cos\widehat{SHB}=-\frac{1}{\sqrt{10}}

\Rightarrow CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC.BD.cos\widehat{CBD}

=(2a)^{2}+(\frac{a\sqrt{10}}{4})^{2}-2.2a.\frac{a\sqrt{10}}{4}.(-\frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{90a^{2}}{16}

=>   CD\Rightarrow CD=\frac{3a\sqrt{10}}{4}=SD

Kết hợp với HS=HC ta suy ra HD\perp HC  ⊥ SC (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra SC\perp (AHD)\Rightarrow SC\perp AD  nên SC ⊥ AD

Chú ý: Có thể chứng minh SC và AD vuông góc bằng tích vô hướng hoặc chứng minh HD đi qua trung điểm của  SC.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết