Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc.
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc.
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Có a2 ≥ a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 - (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 - (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Do a, b ,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế của (1),(2),(3) ta có:
abc ≥ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương
abc ≥ (2 - 2a)(2 - 2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b +c) + 8(ab + bc + ca) - 9abc ≤ 0
<=> 8 + 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ 0
<=> 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ -8 (**)
Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ac) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ac) + 3abc
Từ đó ta có 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc = 27abc - 24(ab + bc + ac) + 32
= 3[9abc - 8(ab + bc + ac)] + 32 (***)
Áp dụng (**) vào (***) được 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
Có a2 ≥ a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) (1)
b2 ≥ b2 - (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) (2)
c2 ≥ c2 - (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) (3)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
Do a, b ,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1),(2),(3) đều dương.
Nhân vế với vế của (1),(2),(3) ta có:
abc ≥ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) (*)
Từ a + b + c = 2 nên (*) tương đương
abc ≥ (2 - 2a)(2 - 2b)(2 - 2c)
<=> 8 - 8(a + b +c) + 8(ab + bc + ca) - 9abc ≤ 0
<=> 8 + 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ 0
<=> 9abc -8(ab + bc +ca) ≥ -8 (**)
Ta có a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ac) + 3abc
= 8 - 6(ab + bc + ac) + 3abc
Từ đó ta có 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc = 27abc - 24(ab + bc + ac) + 32
= 3[9abc - 8(ab + bc + ac)] + 32 (***)
Áp dụng (**) vào (***) được 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 3.(-8) + 32 = 8.
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c =
Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
Câu hỏi liên quan
-
Tính tích phân I=
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình
=
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Giải phương trình
=