Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥ BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥ BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'
a 
a 
a 
Đáp án đúng: A
Lời giải của Luyện Tập 365
Ta có 
= (
+ 
) (
+ 
+ 
)
= . + . = a.x - x.a = 0
(Lưu ý rằng các véctơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0)
Từ đó suy ra CM ⊥ BN
Ta có các đường thẳng AP,D'M,A'B' đồng quy tại S (hình vẽ)
Ta có : VS.AA’D’ = 
.SA'.VAA’D’ = .
.
.a2 = 
Ta có : 
= 
= (
)3 = (
)3
Suy ra: VMPB’.D’AA’ = 
(1 - (1 - 
)3 ) = 
(1 + (1 - ) + (1 + )2 )
Theo giả thiết VMPB’.D’AA’ = .VABCD.A’B’C’D’ = a3. Suy ra
(1 + )2 + (1 - ) - 1 = 0 ⇒ 1 - 
= 
> 0 ⇒ x = 
a
Ta có = ( + ) ( + + )
= . + . = a.x - x.a = 0
(Lưu ý rằng các véctơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0)
Từ đó suy ra CM ⊥ BN
Ta có các đường thẳng AP,D'M,A'B' đồng quy tại S (hình vẽ)
Ta có : VS.AA’D’ = .SA'.VAA’D’ = ...a2 =
Ta có : = = ( )3 = ( )3
Suy ra: VMPB’.D’AA’ = (1 - (1 - )3 ) = (1 + (1 - ) + (1 + )2 )
Theo giả thiết VMPB’.D’AA’ = .VABCD.A’B’C’D’ = a3. Suy ra
(1 + )2 + (1 - ) - 1 = 0 ⇒ 1 - = > 0 ⇒ x = a
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C):
+
=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Tính tích phân I =
