Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 1976

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+\frac{1}{z^{2013}}


A.
5+\frac{\sqrt{5}}{3}i
B.
-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
C.
2-3i
D.
-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt z=x+yi (x,y∈R)

Khi đó

 2|z|+√3iz=4-z <=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} + (1+\sqrt{3}i)(x+yi)=4

<=> 2\sqrt{x^{2}+y^{2}} +(x-√3y)+(√3x+y)i=4

<=> \left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0\\2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x-\sqrt{3}y)=4 \end{matrix}\right. <=> \left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\2\sqrt{4x^{2}}+4x=4 \end{matrix}\right.

<=>\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\\sqrt{x^{2}}+x=1 \end{matrix}\right.

Ta có \sqrt{x^{2}}+x=1 <=> \sqrt{x^{2}}=1-x <=> \left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\x^{2}=(1-x)^{2} \end{matrix}\right. <=> x=\frac{1}{2}

Suy ra y=-\frac{\sqrt{3}}{2} hay z=\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i= cos\frac{\pi }{3} +isin\frac{\pi }{3}. Do đó ta có

z2012+\frac{1}{z^{2013}}= cos(-\frac{2012\pi }{3})+isin(-\frac{2012\pi }{3})+cos\frac{2013\pi }{3}+ isin\frac{2013\pi }{3}

=cos(-\frac{2\pi }{3})+ isin(-\frac{2\pi }{3}) -1 =-\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}i

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết