Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 17683

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:  \small \frac{a(a+c-2b)}{1+ab}+\frac{b(b+a-2c)}{1+bc}+\frac{c(c+b-2a)}{1+ca}\geq 0

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho a;b;c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: 

\small \frac{a(a+c-2b)}{1+ab}+\frac{b(b+a-2c)}{1+bc}+\frac{c(c+b-2a)}{1+ca}\geq 0


A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức đã cho tương đương:

\small \frac{a(a+c+b-3b)}{1+ab}+\frac{b(b+a+c-3c)}{1+bc}+\frac{c(c+b+a-3a)}{1+ca}\geq 0

⇔ \small \frac{3a(1-b)}{1+ab}+\frac{3b(1-c)}{1+bc}+\frac{3c(1-a)}{1+ac}\geq 0

⇔ \small \frac{a(1-b)}{1+ab}+\frac{b(1-c)}{1+bc}+\frac{c(1-a)}{1+ac}\geq 0

⇔ \small \frac{a(1-b)}{1+ab}+1+\frac{b(1-c)}{1+bc}+1+\frac{c(1-a)}{1+ac}+1\geq 3

⇔ \small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 

\small \frac{a+1}{1+ab}+\frac{b+1}{1+bc}+\frac{c+1}{1+ca}\geq 3.\small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}}

Ta cần chứng minh: \small \sqrt[3]{\frac{a+1}{1+ab}.\frac{b+1}{1+bc}.\frac{c+1}{1+ca}} ≥ 1

<=> (a+1)(b+1)(c+1) ≥ (1+ab)(1+bc)(1+ca)

<=> abc + ab +bc +ca + a +b +c +1 ≥ a2b2c2 + abc(a+b+c) + ab +bc +ca +1

<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc  (*)

Từ a+b+c=3 ≥ 3\small \sqrt[3]{abc} => abc ≤ 1 

=> (*) đúng => điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết